Question

18．為了保護環(huán)境發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項目，經(jīng)測算，該項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}-80{x}^{2}+5140x，x∈[120，144]}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-100x+80000，x∈[144，400]}\end{array}\right.$且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為300元，若該項目不獲利，國家將給予補償．
（Ⅰ）當x∈[150，300]時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？
（Ⅱ）該項目每月處理量為多少噸時？才能使每噸的平均處理成本最低？

Answer 1

分析 （I）當x∈[150，300]時，該項目獲利S=200x-（$\frac{1}{2}$x²-200x+80000）＜0，說明不獲利；當x=300時，S取得最大值-5000，說明國家每月至少補貼5000元才能使該項目不虧損；
（II）分段討論，①當x∈[120，144）時，求出$\frac{y}{x}$的最小值；②當x∈[144，500]時，求出$\frac{y}{x}$的最小值；比較得每月處理量為多少噸時，能使每噸的平均處理成本最低．

解答 解：（I）當x∈[150，300]時，設該項目獲利為S，則
S=200x-（$\frac{1}{2}$x²-200x+80000）=-$\frac{1}{2}$x²+400x-80000=-$\frac{1}{2}$（x-400）²；
當x∈[150，300]時，S＜0，此時該項目不會獲利；
當x=300時，S取得最大值-5000，所以，國家每月至少補貼5000元才能使該項目不虧損．
（II）由題意知，①當x∈[120，144]時，$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{3}$x²-80x+5140=$\frac{1}{3}$（x-120）²+340，∴當x=120時，$\frac{y}{x}$取得最小值340；
②當x∈[144，500]時，$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{2}$x+$\frac{80000}{x}$-200≥2$\sqrt{\frac{1}{2}x•\frac{80000}{x}}$-200=200，
當且僅當$\frac{1}{2}$x=$\frac{80000}{x}$，即x=400時，$\frac{y}{x}$取得最小值200；
∵200＜240，∴當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．

點評 本題考查了分段函數(shù)模型的應用題目，并且考查了求二次函數(shù)的最值，利用基本不等式求函數(shù)的最值等問題，是中檔題．