【題目】已知函數(shù),函數(shù)的圖像在處的切線方程為:
(1)求的值;
(2)若,成立,求的取值范圍.
【答案】(1)a=b=1;(2)(2,+∞).
【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo),在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率,求出a、b的值;
(2)將原式化簡,變?yōu)樾潞瘮?shù),對新函數(shù)求導(dǎo)討論單調(diào)性求出k的取值;
或是利用參變分離求最值,求得k的取值.
解:(1)f(x) =a ∴f(1) =a= ,f(1)= =,
解得a=b=1
∴f(x)= +
(2) (方法1)由+< +得, <0,∵x>0∴l(xiāng)nx+(1k)xk+3<0恒成立
設(shè)g(x)=lnx+(1k)xk+3 (x>0)
g(x)= +1k=
當(dāng)k≤1時(shí),g(x)≥0,y=g(x)在x(0,+∞)上單調(diào)遞增,不符合題意,舍去
當(dāng)k>1時(shí),y=g(x)在x(0,)上單調(diào)遞增,在x(,+∞)上單調(diào)遞減,
∴g(x)≤g()=ln+2k<0
設(shè)h(k)= 2kln(k1),h(k)=1<0,y=h(k)在k(1,+∞)上單調(diào)遞減
∵h(yuǎn)(2)=0∴由h(k)<0解得k>2
綜上所述,k的取值范圍是(2,+∞).
(方法2)由+< +得, <0,∵x>0∴l(xiāng)nx+(1k)xk+3<0恒成立,
整理得:k> ,
令g(x)=,則g(x)=.
令h(x)= -lnx-3, (x>0),h(x)= - - <0在x>0時(shí)恒成立
所以,h(x)單調(diào)遞減,又h(1)=0,
所以,x∈(0,1),h(x)>0,即g(x) >0, g(x)單調(diào)遞增
x∈(1,+∞),h(x)<0, 即g(x) <0, g(x)單調(diào)遞減
g(x)在x=1處有最大值g(1)= 2
所以k>2,k的取值范圍是(2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由國家公安部提出,國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局發(fā)布的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)()》于年月日正式實(shí)施.車輛駕駛?cè)藛T酒飲后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閥值見表.經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn),一般情況下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”見圖,
喝瓶啤酒的情況
且圖表示的函數(shù)模型,則該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過多長時(shí)間才可以駕車(時(shí)間以整小時(shí)計(jì)算)?(參考數(shù)據(jù):,)
( 。
駕駛行為類型 | 閥值 |
飲酒后駕車 | , |
醉酒后駕車 |
車輛駕車人員血液酒精含量閥值
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(>0)的部分圖象如圖所示,A,B分別是這部分圖象上的最高點(diǎn)、最低點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若·=0,則下列結(jié)論:①函數(shù)是周期為4的奇函數(shù);②函數(shù)是周期為4的偶函數(shù);③函數(shù)的最大值是;④函數(shù)向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是( )
A.3B.2C.1D.0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知以點(diǎn)A(m, )(m∈R且m>0)為圓心的圓與x軸相交于O,B兩點(diǎn),與y軸相交于O,C兩點(diǎn),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)m=2時(shí),求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)m變化時(shí),△OBC的面積是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由;
(3)設(shè)直線與圓A相交于P,Q兩點(diǎn),且 |OP|=|OQ|,求 |PQ| 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求證:函數(shù)是偶函數(shù);
(2)求證:函數(shù)在上單調(diào)遞減;
(3)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值和最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合,其中, , . 表示中所有不同值的個(gè)數(shù).
()設(shè)集合, ,分別求和.
()若集合,求證: .
()是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,為了檢測兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況,隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi),則為合格品,否則為不合格品. 表1是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖.
表1:甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表
質(zhì)量指標(biāo)值 | [95,100) | [100,105) | [105,110) | [110,115) | [115,120) | [120,125] |
頻數(shù) | 1 | 4 | 19 | 20 | 5 | 1 |
圖1:乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖
(1)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān);
甲套設(shè)備 | 乙套設(shè)備 | 合計(jì) | |||||||||||||
合格品 | |||||||||||||||
不合格品 | |||||||||||||||
合計(jì) | ,求的期望. |
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,離心率為,過的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且的周長為8.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的兩條相鄰對稱軸之間的距離為.
(1)求的值;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,再將所得函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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