Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，AB=BD= ，PB=3．

（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）設Q是棱PC上的點，當PA∥平面BDQ時，求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AD中點O，連結(jié)OP，OB，

∵△PAD是邊長為2的正三角形，∴OP= ，OP⊥AD，

又AB=AD= ，∴OB⊥AD，且OB= ．

于是OB2+OP2=9=PB2，從而OP⊥OB．

所以OP⊥面ABCD，而OP面PAD，所以面PAD⊥面ABCD．

（2）連結(jié)AC交BD于E，則E為AC的中點，連結(jié)EQ，當PA∥面BDQ時，PA∥EQ，所以Q是BC中點．

由（1）知OA，OB，OP兩兩垂直，分別以OA，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則B（0， ，0），C（﹣2， ，0），D（﹣1，0，0），P（0，0， ），Q（﹣1， ），

， ．

設面BDQ的法向量為 ，由 ，取 ．

面ABD的法向量是 ，∴cos＜ ＞=﹣ ．

∵二面角A﹣BD﹣Q是鈍角，∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）取AD中點O，連結(jié)OP，OB，根據(jù)等邊三角形三線合一可證OP⊥AD，由幾何關系得出各線段長度后結(jié)合勾股定理證出OP⊥OB，由線面垂直得到面面垂直，（2）以O為坐標原點，以OA，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，由法向量得到二面角的余弦值.
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．