Question

18．下列說法正確的個(gè)數(shù)是（　　）
（1）（$\frac{16}{81}$）${\;}^{\frac{3}{4}}$+log₃$\frac{5}{4}$+log₃$\frac{4}{5}$=$\frac{27}{8}$；
（2）冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），則f（4）=2
（3）已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，1），則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的大小為30°
（4）已知x＞1，則函數(shù)y=$\frac{1}{x-1}$+x的最小值為2
（5）3^-2，2${\;}^{\frac{1}{3}}$，log${\;}_{\frac{1}{2}}$3三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是2${\;}^{\frac{1}{3}}$
（6）已知a＞1，f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+2x}$，則-1＜x＜0 是使f（x）＜1成立的充分不必要條件．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可判斷（1）；根據(jù)已知求出冪函數(shù)的解析式，可判斷（2）；代入夾角公式，求出向量夾角，可判斷（3）；利用基本不等式求出函數(shù)的最小值，可判斷（4）；求出三個(gè)數(shù)的最大值，可判斷（5）；根據(jù)充要條件的定義，可判斷（6）

解答 解：（1）（$\frac{16}{81}$）${\;}^{\frac{3}{4}}$+log₃$\frac{5}{4}$+log₃$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{27}$≠$\frac{27}{8}$，故錯(cuò)誤；
（2）冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），${2}^{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a=-$\frac{1}{2}$，則f（4）=2，故正確；
（3）已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，1），則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角θ滿足，cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{\left|\overrightarrow{a}\right|•\left|\overrightarrow\right|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故θ=30°，故正確；
（4）已知x＞1，則函數(shù)y=$\frac{1}{x-1}$+x=$\frac{1}{x-1}$+x-1+1≥3，即函數(shù)的最小值為3≠2，故錯(cuò)誤；
（5）0＜3^-2＜1，2${\;}^{\frac{1}{3}}$＞1，log${\;}_{\frac{1}{2}}$3＜0，故三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是2${\;}^{\frac{1}{3}}$，故正確；
（6）已知a＞1，f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+2x}$，若f（x）＜1，則x²+2x＜0，解得：-2＜x＜0，
則-1＜x＜0 是使f（x）＜1成立的充分不必要條件．故正確；
綜上可得：說法正確命題有4個(gè)，
故選：C

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了指數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，冪函數(shù)，向量夾角公式，基本不等式，充要條件等知識點(diǎn)，難度中檔．