Question

20．橢圓$\frac{x^2}{{4{a^{\;}}}}+\frac{y^2}{{{a^2}+1}}=1（a＞0）$的焦點(diǎn)在x軸上，則它的離心率的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，4a＞a²+1，由橢圓的離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}+1}{4a}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}（a+\frac{1}{a}）}$，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得離心率的最大值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{{4{a^{\;}}}}+\frac{y^2}{{{a^2}+1}}=1（a＞0）$的焦點(diǎn)在x軸上，
∴4a＞a²+1，
橢圓的離心率：$e=\sqrt{1-{{（\frac{b'}{a'}）}^2}}=\sqrt{1-\frac{{{a^2}+1}}{4a}}=\sqrt{1-\frac{1}{4}（a+\frac{1}{a}}）≤\sqrt{1-\frac{1}{4}×2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{a}$時(shí)，即a=1時(shí)取等號(hào)，
故答案選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，考查橢圓的利用率公式與基本不等式相結(jié)合，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．