Question

10．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{x}$）${\;}^{3+2m-{m}^{2}}$（m∈Z）在（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，且為偶函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論F（x）=af（x）+（a-2）x⁵．f（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到m的范圍，再由奇偶性和m的性質(zhì)得到解析式；
（Ⅱ）對m分情況討論，利用定義分別判定奇偶性．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{x}$）${\;}^{3+2m-{m}^{2}}$=${x}^{{m}^{2}-2m-3}$，在（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，且為偶函數(shù)，可知m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，又m為整數(shù)，所以m=1，即f（x）=x^-4．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到F（x）=af（x）+（a-2）x⁵．f（x）=ax^-4+（a+2）x，
當(dāng)a=0時，F(xiàn)（x）=-2x，為奇函數(shù)；
當(dāng)a=-2時，F(xiàn)（x）=$\frac{2}{{x}^{4}}$，對任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有F（-x）=F（x），F(xiàn)（x）為偶函數(shù)；
當(dāng)a≠0且a≠2時，F(xiàn)（1）=2a-2，F(xiàn)（-1）=2，F(xiàn)（1）≠F（-1），F(xiàn)（1）≠-F（-1），所以此時為非奇非偶函數(shù)．    …．（13分）

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求法以及奇偶性的判斷．運(yùn)用了定義進(jìn)行判斷．