Question

8．在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}，x∈[0，1）}\\{x，x∈[-1，0）}\end{array}}$，且f（x+2）=f（x），g（x）=$\frac{1}{x-2}$，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-1，5]上的所有根之和約為下列哪個(gè)數(shù)（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由f（x+2）=f（x），得到函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，分別作出函數(shù)f（x），g（x）在[-1，5]上的圖象，利用圖象觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和規(guī)律，然后進(jìn)行求解．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∵g（x）=$\frac{1}{x-2}$，∴g（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
分別作出函數(shù)f（x），g（x）在[-1，5]上的圖象，
由圖象可知兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，設(shè)6個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大為x₁，x₂，x₃，x₄，
且這4個(gè)交點(diǎn)接近點(diǎn)（2，0）對(duì)稱，
則$\frac{1}{2}$（x₁+x₄）=2，x₁+x₄=4，
所以x₁+x₂+x₃+x₄=2（x₁+x₆）=2×4=8，
由圖象可知，x₁+x₄≈4，x₂=x₃=1，
∴x₁+x₂+x₃+x₄≈6，
∴所有根之和約為6
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)和取值的判斷，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．