Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1．
（1）當(dāng)a=e時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：e${\;}^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}$＞n+1（n∈N*）．

Answer 1

分析 （1）a=e時，f（x）=e^x-ex-1，f′（x）=e^x-e，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得單調(diào)區(qū)間．
（2）f′（x）=e^x-a，由x≥0，得出e^x≥1．對參數(shù)a進行討論得出a的取值范圍．
（3）求出x≥ln（x+1），（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等）．取x=$\frac{1}{n}$，則$\frac{1}{n}$＞ln（1+$\frac{1}{n}$），即$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）-lnn，累加即可．

解答 解：（1）a=e時，f（x）=e^x-ex-1，f′（x）=e^x-e，
當(dāng)x＜1時，f′（x）＜0恒成立；當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）的減區(qū)間是（-∞，1）；增區(qū)間是（1，+∞）； 
（2）f′（x）=e^x-a，∵x≥0，∴e^x≥1．
①若a≤1，則f′（x）≥0（僅當(dāng)a=1且x=0時取等號），
∴f（x）增于[0，+∞），∴f（x）≥f（0）=0，合乎題意；
②若a＞1，令f′（x）=0得，x=lna，易得f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)減，
在（lna，+∞）上單調(diào)增，而f（0）=0，所以f（x）在（0，lna）上不恒負，不合題意．
綜上所述知a的取值范圍是（-∞，1]；
（3）欲證e${\;}^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}$＞n+1（n∈N*），即證1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1），
由（2）知，當(dāng)a=1時，e^x-x-1≥0，即當(dāng)x≥0時，x≥ln（x+1），（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等）．
取x=$\frac{1}{n}$，則$\frac{1}{n}$＞ln（1+$\frac{1}{n}$），即$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）-lnn，
同理，$\frac{1}{n-1}$＞lnn-ln（n-1），$\frac{1}{n-2}$＞ln（n-1）-ln（n-2），…，1＞ln2-ln1，
以上各式相加，得1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1），故原不等式成立．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)得單調(diào)區(qū)間和利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍以及不等式的證明，屬于中檔題型．