Question

已知常數(shù)a＞0，函數(shù)g（x）=

x

x+1

，h（x）=

1

x+a

，且f（x）=g（x）•h（x）．
（1）若a=1，并設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是[1，2]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）對于給定的常數(shù)a，是否存在實數(shù)t，使得g（t）=h（t）成立？若存在，求出這樣的所有的t的值，若不存在，說明理由．
（3）若a＞1，問是否存在常數(shù)a的值，使函數(shù)f（x）的定義域是[1，a]，值域為[

1

2(a+1)

，

1

a2

]？若存在，求出這樣a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）=

x

(1+x)

×

1

x+1

=

1

x+ 1 x +2

，運用對鉤函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)求解．
（2）化簡得出：t²+（a-1）t-1=0
△=（a-1）²+4＞0，恒成立，判斷即可．
（3））f（x）=

x

(x+a)(x+1)

=

1

x+ a x +a+1

，求出最小值f（x）_min=f（

a

）=

1

2 a +a+1

，
運用值域為[

1

2(a+1)

，

1

a2

]求出a，判斷符合題意與否即可，判斷存在不存在．

解答： 解：常數(shù)a＞0，函數(shù)g（x）=

x

x+1

，h（x）=

1

x+a

，且f（x）=g（x）•h（x）．
（1）a=1，f（x）=

x

(1+x)

×

1

x+1

=

1

x+ 1 x +2

，
∵函數(shù)f（x）的定義域是[1，2]，
∴4≤x+

1

x

+2≤

9

2

，
∴

2

9

≤

1

x+ 1 x +2

≤

1

4

，
故值域為：[

2

9

，

1

4

]
（2）g（x）=

x

x+1

，h（x）=

1

x+a

，
∵g（t）=h（t），
∴

t

t+1

=

1

t+a

，
化簡得出：t²+（a-1）t-1=0
△=（a-1）²+4＞0，恒成立，故存在實數(shù)t滿足條件t=

1-a± (a-1)2+4

2

，
（3）f（x）=

x

(x+a)(x+1)

=

1

x+ a x +a+1

，
∵a＞1，∴

a

＞1，

a

＜a，成立，
∴f（x）_min=f（

a

）=

1

2 a +a+1

，
∵值域為[

1

2(a+1)

，

1

a2

]，
∴

1

2 a +a+1

=

1

2(a+1)

，解得a=1，與a＞1矛盾
∴不符合題意，
∴不存在這樣的實數(shù)a．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，方程，不等式的運用，屬于綜合題，難度度較大，仔細化簡運算．