Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax）e^x（a≠0）
（1）f（x）在x=-3處取到極值，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a是f（x）≥a²x恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=（x²+ax）e^x+（2x+a）e^x=（x²+（2+a）x+a）e^x，從而得到f′（-3）=9-3（2+a）+a=0；從而求得a=

3

2

；從而求單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x）≥a²x可化為（x²+ax）e^x≥a²x，從而可得x[（x+a）e^x-a²]≥0，分類討論，再利用導(dǎo)數(shù)求解．

解答： 解：（1）f′（x）=（x²+ax）e^x+（2x+a）e^x
=（x²+（2+a）x+a）e^x，
∵f（x）在x=-3處取到極值，
∴f′（-3）=9-3（2+a）+a=0；
解得，a=

3

2

；
f′（x）=（x+

1

2

）（x+3）e^x，
故當(dāng)x∈（-∞，-3），（-

1

2

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（-3，-

1

2

）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-3），（-

1

2

，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（-3，-

1

2

）；
（2）f（x）≥a²x可化為（x²+ax）e^x≥a²x，
即x[（x+a）e^x-a²]≥0，
①當(dāng)x≥0時(shí)，令g（x）=（x+a）e^x-a²，
g′（x）=（x+1+a）e^x，
當(dāng)1+a≥0，即a≥-1時(shí)，g′（x）≥0；
則g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
則要使g（x）≥0恒成立，
則g（0）≥0；
即a-a²≥0；
解得，0＜a≤1；
當(dāng)1+a＜0，即a＜-1時(shí)，
x∈[0，-a-1）時(shí)，g′（x）＜0，x∈[-a-1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0；
而g（0）=a-a²＜0；
故0＜a≤1．
②當(dāng)x≤0時(shí)，令g（x）=（x+a）e^x-a²，
g′（x）=（x+1+a）e^x，
當(dāng)1+a＞0，即a＞-1時(shí)，
g（x）在（-∞，-（a+1））上單調(diào)遞減，
在（-（a+1），0]上單調(diào)遞增；
故g（0）=a-a²≤0；
故a≤0或a≥1；
當(dāng)1+a≤0，即a≤-1時(shí)，
g（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，
故h（0）=a-a²≤0成立；
綜上所述，a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于中檔題．