Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

（x≠0，a∈R），若f（x）在區(qū)間[2，+8）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由題意可得可得f′（x）=1-

a

x2

，分當a≥0、a＜0兩種情況，分別利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結合題意求得a的范圍，綜合可得結論．

解答： 解：由函數(shù)f（x）=x+

a

x

（x≠0，a∈R），可得f′（x）=1-

a

x2

，當a≥0時，
令f′（x）≥0，求得x≥

a

，或 x≤-

a

，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[

a

，+∞）、（-∞，-

a

]．
再根據(jù)f（x）在區(qū)間[2，+8）上是增函數(shù)，可得

a

≤2，求得0≤a≤4．
當a＜0時，函數(shù)f（x）=x+

a

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，滿足條件．
綜上，a≤4．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的性質，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．