Question

已知偶函數(shù)f（x）對定義域的任意x滿足：f（2-x）=f（x），且當x∈[0，1）時，f（x）=ln（1-x）給出下列四個命題：
①函數(shù)f（x）的周期為2；
②函數(shù)f（x）的最大值為0；
③當x∈（1，2]時，f（x）=ln（x-1）；
④函數(shù)f（x）在每個區(qū)間[2k，2k+1），k∈z上單調(diào)遞減．
其中正確的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意知f（x）=f（-x）=f（2+x）；從而得到函數(shù)的性質(zhì)，從而對四個命題依次判斷．

解答： 解：①∵f（-x）=f（x），且f（2-x）=f（x）；
∴f（x）=f（-x）=f（2+x）；
∴函數(shù)f（x）的周期為2；故正確；
②∵當x∈[0，1）時，f（x）=ln（1-x）；
故f_max（x）=0；而f（x）是周期為2的偶函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的最大值取決于f（1）的取值；故不正確；
③當x∈（1，2]時，f（x）=f（2-x）=ln（1-2+x）=ln（x-1）；故正確；
④∵當x∈[0，1）時，f（x）=ln（1-x）單調(diào)遞減，
又∵函數(shù)f（x）的周期為2，
∴函數(shù)f（x）在每個區(qū)間[2k，2k+1），k∈z上單調(diào)遞減．故正確；
故答案為：①③④．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于基礎題．