Question

15．已知圓E過圓x²+y²+2x-4y-3=0與直線y=x的交點(diǎn)，且圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線y=2x-2的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上．
（1）求圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓E與y軸正半軸的交點(diǎn)為A，直線l與圓E交于B，C兩點(diǎn)，且點(diǎn)H（$\sqrt{3}$，0）是△ABC的垂線（垂心是三角形三條高線的交點(diǎn)），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意圓心$E（-1-\frac{λ}{2}，2+\frac{λ}{2}）$在直線y=2x-2上，由此能求出λ及圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由題意設(shè)直線l的方程為y=x+m，由$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-1）}^2}+{y^2}=4}\\{y=x+m}\end{array}}\right.$，得2x²+2（m-1）x+m²-9=0，由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積能求出所求直線的方程．

解答 解：（1）設(shè)圓E的方程為x²+y²+2x-4y-3+λ（x-y）=0，
由條件知圓心$E（-1-\frac{λ}{2}，2+\frac{λ}{2}）$在直線y=2x-2上，故$2+\frac{λ}{2}=2×（-1-\frac{λ}{2}）-2$，解得λ=-4．
于是所求圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+y²=4．
（2）由題知$A（0，\sqrt{3}），H（\sqrt{3}，0）$，k_AH=-1，所以直線l的斜率為1，
設(shè)直線l的方程為y=x+m，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-1）}^2}+{y^2}=4}\\{y=x+m}\end{array}}\right.$，得2x²+2（m-1）x+m²-3=0，
故x₁+x₂=1-m，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-3}}{2}$，
又$\overrightarrow{HB}•\overrightarrow{AC}=（{x_1}-\sqrt{3}，{y_1}）•（{x_2}，{y_2}-\sqrt{3}）=（{x_1}-\sqrt{3}）{x_2}+{y_1}（{y_2}-\sqrt{3}）$=$（{x_1}-\sqrt{3}）{x_2}+（{x_1}+m）（{x_2}+m-\sqrt{3}）$
=$2{x_1}{x_2}+（m-\sqrt{3}）（{x_1}+{x_2}）+m（m-\sqrt{3}）=0$
代入得${m^2}+m-3-\sqrt{3}=0$，解得$m=-1-\sqrt{3}$或$m=\sqrt{3}$
當(dāng)$m=\sqrt{3}$時(shí)，直線$l：y=x+\sqrt{3}$過點(diǎn)A，不合題意；
當(dāng)$m=-1-\sqrt{3}$時(shí)，直線$l：y=x-1-\sqrt{3}$，經(jīng)檢驗(yàn)直線l與圓E相交，
故所求直線l的方程為$y=x-1-\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、韋達(dá)定理，向量數(shù)量積等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．