Question

6．如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=$\frac{π}{2}$，D，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，CD=DE=$\sqrt{2}$，CE=2EB=2，
（Ⅰ）證明：DE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)勾股定理得出DE⊥CD，又PC⊥平面ABC得出PC⊥DE，故DE⊥平面PCD；
（II）作DF⊥BC，垂足為F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出比例式計(jì)算AC，再代入體積公式計(jì)算三棱錐P-ABC的體積．

解答 證明：（I）∵PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，
∴PC⊥DE，
∵CD=DE=$\sqrt{2}$，CE=2，
∴CD²+DE²=CE²，∴CD⊥DE，
又PC?平面PCD，CD?平面PCD，PC∩CD=C，
∴DE⊥平面PCD．
解：（II）作DF⊥BC，垂足為F，則DF=$\frac{1}{2}$CE=1，
∵∠ACB=$\frac{π}{2}$，∴DF∥AC，
∴$\frac{DF}{AC}=\frac{BF}{BC}$=$\frac{2}{3}$，∴AC=$\frac{3}{2}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}×3$=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．