Question

20．已知$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，其中向量$\overrightarrow a=（{\sqrt{3}sin2x，1}），\overrightarrow b=（{1，cos2x}）$（x∈R），
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知f （A）=2，a=$\sqrt{7}$，b=$\sqrt{3}$，求邊長c的值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量數(shù)量積的運算，兩角和的正弦函數(shù)公式可求函數(shù)解析式為f （x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．
（2）由已知可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A的值，由余弦定理即可解得c的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）f （x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x   …（1分）
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$） …（3分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
得　$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$．…（5分）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]，k∈Z$．…（6分）
（2）f （A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，…（7分）
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$．…（9分）
由余弦定理得 a²=b²+c²-2bccosA，
7=3+c²-3c 即 c²-3c-4=0，…（11分）
∴c=4或c=-1 （不合題意，舍去），
∴c=4．      …（12分）

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．