Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過點F且斜率為1的直線與橢圓交于C，D（D在x軸上方）兩點，
（1）證明$\frac{{|{CD}|}}{{|{DF}|}}$是定值；
（2）若F（1，0），設(shè)斜率為k的直線l交橢圓C于A，B兩點，且以AB為直徑的圓恒過原點O，求△OAB面積最大值．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式設(shè)出c=$\sqrt{2}$t，a=2t，b=$\sqrt{2}$t，橢圓方程為x²+2y²=4t²，（t＞0），F(xiàn)（$\sqrt{2}$t，0），直線CD的方程為y=x-$\sqrt{2}$t，聯(lián)立直線和橢圓方程，解出C，D的坐標(biāo)，運用兩點的距離公式，即可得到定值；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線和橢圓方程，運用判別式大于0和韋達定理，運用直徑所對圓周角為直角，由數(shù)量積為0，再由三角形的面積公式，化簡整理，結(jié)合配方和二次函數(shù)的最值求法，即可面積的最大值．

解答 解：（1）證明：離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
設(shè)c=$\sqrt{2}$t，a=2t，b=$\sqrt{2}$t，
橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{t}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2{t}^{2}}$=1，
即x²+2y²=4t²，（t＞0），F(xiàn)（$\sqrt{2}$t，0），
直線CD的方程為y=x-$\sqrt{2}$t，
聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y，可得
3x²-4$\sqrt{2}$tx=0，解得，x=0，或$\frac{4\sqrt{2}}{3}$t，
即有C（0，-$\sqrt{2}$t），D（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$t，$\frac{\sqrt{2}}{3}$t），
則$\frac{{|{CD}|}}{{|{DF}|}}$=$\frac{\sqrt{2×（\frac{4\sqrt{2}}{3}t）^{2}}}{\sqrt{2×（\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}}}$=4是定值；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
得$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$，消去y，得，（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
判別式△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²）＞0，
$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{-4mk}{{1+2{k^2}}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}\end{array}\right.$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}x{\;}_2+{y_1}y{\;}_2=0$，即$\frac{{3{m^2}-2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}=0$，即3m²=2（1+k²），
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|m||{x_1}-{x_2}|=\frac{1}{2}\sqrt{{m^2}[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{8{m^2}（1+2{k^2}-{m^2}）}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}}$
=$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{（1+{k^2}）（1+4{k^2}）}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}}$，
設(shè)t=2k²+1≥1，${S_{△AOB}}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}\sqrt{\frac{{2{t^2}+t-1}}{t^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}\sqrt{-{{（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{9}{4}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
當(dāng)t=2k²+1=2，即$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（檢驗判別式大于0成立）時，面積的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及運用，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，配方整理，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題．