Question

9．已知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（I）求T_n；
（II）若對任意的n∈N^*不等式λT_n＜n+（-1）ⁿ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由a_n=2n-1，則b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂項法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（II）由（I）可知：λ＜$\frac{（2n+1）[n+（-1）^{n}]}{n}$恒成立，當n為奇數(shù)時，λ＜$\frac{（2n+1）（n-1）}{n}$=2n-$\frac{1}{n}$-1恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得當n=1時，2n-$\frac{1}{n}$-1取得最小值為0，同理可知：當n=2時，2n+$\frac{1}{n}$+3取得最小值為$\frac{15}{2}$，綜上可知：對于任意的正整數(shù)n，原不等式恒成立，則λ的取值范圍是（-∞，0）．

解答 解：（I）由a_n=2n-1，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
∴T_n=$\frac{n}{2n+1}$；
（II）由（I）得：λT_n＜n+（-1）ⁿ，即λ＜$\frac{（2n+1）[n+（-1）^{n}]}{n}$，
當n為奇數(shù)時，λ＜$\frac{（2n+1）（n-1）}{n}$=2n-$\frac{1}{n}$-1恒成立，
∵當n為奇數(shù)時，2n-$\frac{1}{n}$單調(diào)遞增，
∴當n=1時，2n-$\frac{1}{n}$-1取得最小值為0，
此時λ＜0．
當n為偶數(shù)時，λ＜$\frac{（2n+1）（n+1）}{n}$=2n+$\frac{1}{n}$+3恒成立，
當n為偶數(shù)時，2n+$\frac{1}{n}$+3單調(diào)遞增，
∴當n=2時，2n+$\frac{1}{n}$+3取得最小值為$\frac{15}{2}$，
此時λ＜$\frac{15}{2}$．
綜上所述，對于任意的正整數(shù)n，原不等式恒成立，
∴λ的取值范圍是（-∞，0）．

點評 本題考查不等式恒成立問題的應用，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查數(shù)列與不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．