Question

【題目】過(guò)直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)．

(1)用p表示線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；

(2)若，求這個(gè)拋物線(xiàn)的方程．

Answer 1

【答案】（1）4p（2）y2＝4x.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程，再與拋物線(xiàn)聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得兩根之和，最后根據(jù)拋物線(xiàn)定義求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；（2）先根據(jù)向量數(shù)量積化簡(jiǎn)，再根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理代入關(guān)系式，解出p

試題解析：解：(1)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線(xiàn)方程是y＝x－.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立

得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，∴AB＝x1＋x2＋p＝4p.

(2)由(1)知x1x2＝，x1＋x2＝3p，

∴y1y2＝＝x1x2－ (x1＋x2)＋＝－＋＝－p2，

∴OA―→·OB―→＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－＝－3，

解得p2＝4，

∴p＝2.

∴這個(gè)拋物線(xiàn)的方程為y2＝4x.