Question

定義，max{m，n}=

m，m≥n n，m＜n

，已知函數(shù)f（x）=max{x²-2x，2a-2x}，a∈R
（1）當(dāng)a=1時(shí)，直接寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求出函數(shù)f（x）的最小值
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，化簡f（x）=max{x²-2x，2-2x}=

x2-2x，x≤- 2 2-2x，- 2 ＜x＜ 2 x2-2x，x≥ 2

，從而寫出單調(diào)區(qū)間及最小值；
（2）令x²-2x=2a-2x得x²=2a；故當(dāng)a=0時(shí)，方程僅有一個(gè)解；從而討論確定函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，
f（x）=max{x²-2x，2-2x}=

x2-2x，x≤- 2 2-2x，- 2 ＜x＜ 2 x2-2x，x≥ 2

，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，

2

），
單調(diào)增區(qū)間為（

2

，+∞）；
其最小值為f（

2

）=2-2

2

；
（2）令x²-2x=2a-2x得x²=2a；
故當(dāng)a=0時(shí)，方程僅有一個(gè)解；
故當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=max{x²-2x，2-2x}
=x²-2x=（x-1）²-1；
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，令x²=2a解得，
x=-

2a

或x=

2a

；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，

2a

），
單調(diào)增區(qū)間為（

2a

，+∞）；
故f（x）≥f（

2a

）=2a-2

2a

；
故f（x）的值域?yàn)閇2a-2

2a

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬于中檔題．