Question

3．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為e，直線l：y=ex+a與x，y軸分別交于A、B點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線l與橢圓C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)T為直線l與橢圓C的交點(diǎn)，若AT=eAB，求橢圓C的離心率；
（Ⅲ）求證：直線l：y=ex+a上的點(diǎn)到橢圓C兩焦點(diǎn)距離和的最小值為2a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將直線l：y=ex+a代入橢圓方程，運(yùn)用判別式，結(jié)合離心率公式，化簡整理即可得證；
（Ⅱ）由直線l：y=ex+a，可得A（-$\frac{a}{e}$，0），B（0，a），運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得離心率；
（Ⅲ）設(shè)F₂（c，0）關(guān)于直線y=ex+a的對(duì)稱點(diǎn)為F'（m，n），運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得F'的坐標(biāo)，計(jì)算|F'F₁|，即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）證明：直線l：y=ex+a代入橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
可得（b²+a²e²）x²+2ea³+a⁴-a²b²=0，
可得判別式為4a²e⁶-4（b²+a²e²）（a⁴-a²b²）=-4（a⁴b²-a²b⁴-a⁴e²b²）
=-4[a²b²（a²-b²）-a²c²b²]=0，
即有直線l與橢圓C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；
（Ⅱ）由直線l：y=ex+a，可得A（-$\frac{a}{e}$，0），B（0，a），
由（Ⅰ）可得x_T=-$\frac{e{a}^{3}}{^{2}+{a}^{2}{e}^{2}}$=-$\frac{e{a}^{3}}{^{2}+{c}^{2}}$=-ea，
由$\overrightarrow{AT}$=e$\overrightarrow{AB}$，可得-ea+$\frac{a}{e}$=e（0+$\frac{a}{e}$），
即e²+e-1=0，解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（負(fù)的舍去）：
（Ⅲ）證明：設(shè)F₂（c，0）關(guān)于直線y=ex+a的對(duì)稱點(diǎn)為F'（m，n），
即有$\frac{n-0}{m-c}$=-$\frac{1}{e}$，$\frac{n}{2}$=$\frac{e（m+c）}{2}$+a，結(jié)合e=$\frac{c}{a}$，b²+c²=a²，
解得m=-c，n=2a，
即為F'（-c，2a），
則|F'F₁|=2a．
故直線l：y=ex+a上的點(diǎn)到橢圓C兩焦點(diǎn)距離和的最小值為2a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系：相切，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和離心率公式的運(yùn)用，同時(shí)考查點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的求法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．