7.設x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+2b=6$\sqrt{2}$,則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值是(  )
A.$\frac{1}{2}$B.1C.$\frac{3}{2}$D.2

分析 由ax=by=3,求出x,y,進而可表示$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$,再利用基本不等式,即可求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值.

解答 解:∵a>1,b>1,ax=by=3,∴x=loga3,y=logb3,
∴$\frac{1}{x}$=log3a,$\frac{1}{y}$=log3b,
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=log3a+log3b=log3ab,
∵a+2b=6$\sqrt{2}$≥2$\sqrt{2ab}$,
∴ab≤9(當且僅當a=2b時,取等號),
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≤log39=2,
即$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值為2;
故選:D.

點評 本題考查基本不等式的運用,考查對數(shù)運算,考查學生分析轉化問題的能力,正確表示$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$是關鍵.

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