Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，面，且，為中點．

（1）證明：//平面；

（2）證明：平面平面；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接BD與AC交于點O，連接EO，證明EO//PB，由線線平行證明線面平行即可；（2）通過證明CD平面PAD來證明平面平面；（3）以A為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，通過空間向量的方法求二面角的余弦值.

（1）證明：連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)EO．

O為BD中點，E為PD中點，

∴EO//PB．

EO平面AEC，PB平面AEC，

∴ PB//平面AEC．

（2）證明：PA⊥平面ABCD．平面ABCD，

∴．

又在正方形ABCD中且，

∴CD平面PAD．

又平面PCD，

∴平面平面．

（3）如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標分別為

A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）,

D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0, 1, 1） ．

PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）．

設(shè)平面AEC的法向量為,, ,

則,即

∴令 ,則.

∴,

二面角的余弦值為