Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若曲線： 在點(diǎn)處的切線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值或取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1），通過(guò)當(dāng)，當(dāng)時(shí)，求解實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求出切線方程，轉(zhuǎn)化在上有且只有一解．構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)有零點(diǎn)，通過(guò)求解導(dǎo)函數(shù)，討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的零點(diǎn)．推出的范圍.

試題解析：（1），即在上有解.

當(dāng)時(shí)顯然成立；

當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，故需且只需，即，解得.故

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）， ，故切線方程為，即.從而方程在上有且只有一解，

設(shè)，則在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

又，故函數(shù)有零點(diǎn)，則.

當(dāng)時(shí)， ，又不是常數(shù)函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足題意.

當(dāng)時(shí)，由得或且，由得或；由得.故當(dāng)在上變化時(shí)， ， 的變化情況如下表：

根據(jù)上表知.

又

∴，故在上，函數(shù)又有一個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意.

綜上所述， .