Question

1．已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…P_n（a_n，b_n），（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象上．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)a_n=n，（n∈N⁺），過點P_n，P_n+1的直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為c_n，試求最小的實數(shù)t，使c_n≤t對一切正整數(shù)n恒成立；
（3）對（2）中的數(shù)列{a_n}，對每個正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入3^k-1個3，得到一個新的數(shù)列{d_n}，設(shè)S_n是數(shù)列{d_n}的前n項和，試探究2016是否是數(shù)列{S_n}中的某一項，寫出你探究得到的結(jié)論并給出證明．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，推導出$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=（$\frac{1}{2}$）^d，（常數(shù)），由此能證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）若a_n=n，則$_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$，推導出c_n-c_n+1＞0，從而數(shù)列{c_n}隨n增大而減小，進而${c}_{n}≤{c}_{1}=\frac{9}{8}$．由此能求出最小的實數(shù)t的值為$\frac{9}{8}$，使c_n≤t對一切正整數(shù)n恒成立．
（3）a_n=n，數(shù)列{d_n}中，從第一項a₁開始到a_k為止，（含a_k項）的所有項的和是$\frac{k（k+1）}{2}+\frac{{3}^{k}-3}{2}$，從而能推導出2016不是其中的一項．

解答 證明：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知得$_{n}=（\frac{1}{2}{）^{{a}_{n}}}_{\;}$，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=（$\frac{1}{2}$）^d，（常數(shù)），
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
解：（2）若a_n=n，則$_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴${P}_{n}（n，（\frac{1}{2}）^{n}）$，P_n+1（n+1，（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹），${k}_{{P}_{n}{P}_{n+1}}$=$\frac{（\frac{1}{2}）^{n+1}-（\frac{1}{2}）^{n}}{（n+1）-n}$=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
直線P_nP_n+1的方程為$y-（\frac{1}{2}）^{n}=-（\frac{1}{2}）^{n+1}（x-n）$，
它與x軸，y軸分別交于點A_n（n+2，0），B_n（0，$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$），
∴c_n=$\frac{1}{2}•|O{A}_{n}|•$|OB_n|=$\frac{（n+2）^{2}}{{2}^{n+2}}$，
c_n-c_n+1=$\frac{（n+2）^{2}}{{2}^{n+2}}-\frac{（n+3）^{2}}{{2}^{n+3}}$=$\frac{{n}^{2}+2n-1}{{2}^{n+3}}$＞0，
∴數(shù)列{c_n}隨n增大而減小，
∴${c}_{n}≤{c}_{1}=\frac{9}{8}$．
∴最小的實數(shù)t的值為$\frac{9}{8}$，使c_n≤t對一切正整數(shù)n恒成立．
（3）2016不是數(shù)列{S_n}中的某一項，證明如下：
∵a_n=n，∴數(shù)列{d_n}中，從第一項a₁開始到a_k為止，（含a_k項）的所有項的和是：
（1+2+…k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=$\frac{k（k+1）}{2}+\frac{{3}^{k}-3}{2}$，
當k=7時，其和為：28+$\frac{{3}^{7}-3}{2}$=1120＜2016，
而當k=8時，其和是36+$\frac{{3}^{8}-3}{2}$=3315＞2016，
∵2016-1120=896=298×3+2，不是3的倍數(shù)，
∴不存在自然數(shù)m，使S_m=2016．
∴2016不是數(shù)列{S_n}中的某一項．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查滿足條件的實數(shù)的最小值的求法，考查2016是否是數(shù)列中的某一項的探究與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列性質(zhì)、作差法、數(shù)列求和等知識點的合理運用．