Question

3．已知函數(shù)f（x）=2|x|+cosx-π，則不等式（x-2）f（x）＞0的解集是：（2，+∞）∪（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 分別討論x≥0，x＜0時的f（x）的單調(diào)性，得到f（x）的符號，從而求出不等式組的解集．

解答 解：x≥0時，f（x）=2x+cosx-π，
f′（x）=2-sinx＞0，
f（x）在[0，+∞）遞增，
而f（$\frac{π}{2}$）=0，
故f（x）＜0在[0，$\frac{π}{2}$）恒成立，
f（x）＞0在（$\frac{π}{2}$，+∞）恒成立，
x＜0時，f（x）=-2x+cosx-π，
f′（x）=-2-sinx＜0，
f（x）在（-∞，0）遞減，
f（0）=1-π＜0，
故f（x）＜0在（-∞，0）恒成立；
綜上，x＜$\frac{π}{2}$時，f（x）＜0，x＞$\frac{π}{2}$時，f（x）＞0，
若（x-2）f（x）＞0，
則$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
∴x＞2或-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$，
故答案為：（2，+∞）∪（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查不等式的解法，是一道中檔題．