Question

3．己知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，對(duì)一切n∈N^*，都有$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b_n，則數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=1．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，化簡(jiǎn)a_n+3a_n+1=q（a_n+2）²，從而可得a_n+3a³_n+1=（a_n+2）³a_n，從而化簡(jiǎn)可得a_nd=0，從而求得．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b_n，∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=b_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+2}{a}_{n}}{{（a}_{n+1}）^{2}}$=q，∴a_n+2a_n=q（a_n+1）²，
∴a_n+3a_n+1=q（a_n+2）²，
∴$\frac{{a}_{n+3}{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}{a}_{n}}$=$\frac{{{a}^{2}}_{n+2}}{{{a}^{2}}_{n+1}}$，
即a_n+3a³_n+1=（a_n+2）³a_n，
即（a_n+3d）（a_n+d）³=（a_n+2d）³a_n，
化簡(jiǎn)可得，a_nd=0，
∵a_n≠0，∴d=0，
故數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，
故b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1，
故答案為：b_n=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力及整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．