Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，AD⊥CE，垂足為D，AC平分∠BAD．

（1）求證：直線(xiàn)CE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）求證：AC2=ABAD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，如下圖所示：

因?yàn)镺A=OC，

所以∠OCA=∠OAC．

又因?yàn)锳D⊥CE，

所以∠ACD+∠CAD=90°，

又因?yàn)锳C平分∠BAD，

所以∠OCA=∠CAD，

所以∠OCA+∠CAD=90°，

即OC⊥CE，

所以CE是⊙O的切線(xiàn)．

（2）證明：連接BC，

因?yàn)锳B是⊙O的直徑，

所以∠BCA=∠ADC=90°，

因?yàn)镃E是⊙O的切線(xiàn)，

所以∠B=∠ACD，

所以△ABC∽△ACD，

所以 ，

即AC2=ABAD．

【解析】（1）連接OC，利用△OAC為等腰三角形，結(jié)合同角的余角相等，我們易結(jié)合AD⊥CE，得到OC⊥DE，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理，我們易得到結(jié)論；（2）連接BC，我們易證明△ABC∽△ACD，然后相似三角形性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，易得到結(jié)論．