Question

3．已知函數(shù)f（x）=xlnx-mx²．
（Ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若$\frac{{x}^{2}-x}{f（x）}$＞1對(duì)任意的x∈[$\sqrt{e}$，e²]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈（$\frac{1}{e}$，1），x₁+x₂＜1，求證：x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）

Answer 1

分析 （Ⅰ）m=0時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問(wèn)題整理得$\frac{lnx-x+1}{x}$＜m＜$\frac{lnx}{x}$，令g（x）=$\frac{lnx-x+1}{x}$，令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可；
（Ⅲ）根據(jù)基本不等式的解法即可證明不等式．

解答 解：（I）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=xlnx，x＞0，得f′（x）=lnx+1，
由lnx+1＞0，解得x＞$\frac{1}{e}$，即f（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增；
由lnx+1＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$，即f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減．
∴綜上，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{e}$）．…（3分）
（II）已知x∈[$\sqrt{e}$，e²]，于是$\frac{{x}^{2}-x}{f（x）}$＞1變形為$\frac{x-1}{lnx-mx}$＞1，
從而$\frac{1}{lnx-mx}$＞$\frac{1}{x-1}$，即0＜lnx-mx＜x-1，
整理得$\frac{lnx-x+1}{x}$＜m＜$\frac{lnx}{x}$…（5分）
令g（x）=$\frac{lnx-x+1}{x}$，則g′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$＜0，即g（x）在[$\sqrt{e}$，e²]上是減函數(shù)，
∴g（x）_max=g（$\sqrt{e}$）=$\frac{3\sqrt{e}}{2e}$-1，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)$\sqrt{e}$＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，即此時(shí)h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)e＜x＜e²時(shí)，h′（x）＜0，即此時(shí)h（x）單調(diào)遞減，
而h（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2\sqrt{e}}$＞h（e²）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
∴h（x）_min=$\frac{2}{{e}^{2}}$
∴$\frac{3\sqrt{e}}{2e}$-1＜m＜$\frac{2}{{e}^{2}}$…（9分）
（III）由（I）知當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=xlnx在（$\frac{1}{e}$，+∞）上是增函數(shù)，
∵$\frac{1}{e}$＜x₁＜x₁+x₂＜1，
∴f（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞f（x₁）=x₁lnx₁，
即lnx₁＜$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{{x}_{1}}$ln（x₁+x₂），同理lnx₂＜$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{{x}_{2}}$ln（x₁+x₂），
所以lnx₁+lnx₂＜（$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{{x}_{2}}$）ln（x₁+x₂）=（2+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）ln（x₁+x₂），
又因?yàn)椋?+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時(shí)，取等號(hào)．
又x₁，x₂∈（$\frac{1}{e}$，1），x₁+x₂＜1，ln（x₁+x₂），
∴（2+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）ln（x₁+x₂）≤4，
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂），
∴x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．