Question

2．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA=AD=1，AB=2，且PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角C-PD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，通過計(jì)算$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DP}=0$得出EF⊥CD，EF⊥DP，故而EF⊥平面PCD；
（2）求出平面PDE的法向量$\overrightarrow{n}$，則二面角C-PD-E的余弦值為cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞．

解答 證明：（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示：

則E（1，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0），
∴F（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{EF}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-1，1），
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DP}$=0，
∴EF⊥CD，EF⊥DP，
又CD?平面PCD，DP?平面PCD，DP∩CD=D，
∴EF⊥平面PCD．
（II）$\overrightarrow{DE}$=（1，-1，0），
由（I）可知$\overrightarrow{EF}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）為平面PCD的一個(gè)法向量，
設(shè)平面PDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，
令z=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角C-PD-E的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線面位置關(guān)系，空間角的計(jì)算與空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．