Question

17．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿8局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為p（p＞$\frac{1}{2}$），且各局勝負(fù)相互獨立．已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為$\frac{5}{8}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）設(shè)ξ表示比賽停止時比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知，當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽停止，再由互斥事件的概率及相互獨立事件的概率列式求p的值；
（Ⅱ）求出ξ的所有可能取值，得到ξ取不同值時的概率，得到分布列，代入期望公式求期望．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽停止，
故${p}^{2}+（1-p）^{2}=\frac{5}{8}$，解得p=$\frac{1}{4}$或p=$\frac{3}{4}$．
又p$＞\frac{1}{2}$，∴p=$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）依題意知，ξ的所有可能取值為2，4，6，8．
p（ξ=2）=$\frac{5}{8}$；
p（ξ=4）=$（1-\frac{5}{8}）×\frac{5}{8}=\frac{15}{64}$；
p（ξ=6）=$（1-\frac{5}{8}）^{2}×\frac{5}{8}=\frac{45}{512}$；
p（ξ=8）=$（1-\frac{5}{8}）^{3}=\frac{27}{512}$．
∴隨機變量ξ的分布列為：

ξ	2	4	6	8
p	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{45}{512}$	$\frac{27}{512}$

Eξ=2×$\frac{5}{8}+4×\frac{15}{64}+6×\frac{45}{512}+8×\frac{27}{512}$=$\frac{803}{256}$．

點評 本題考查離散型隨機變量的期望與方差，訓(xùn)練了獨立事件概率的求法，是中檔題．