Question

5．已知 f（x）、g（x）都是定義在 R 上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=a^x g（x），$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，則關(guān)于x的方程abx²+$\sqrt{2}$x+2=0（b∈（0，1））有兩個不同實根的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 f（x）=a^x•g（x），g（x）≠0，構(gòu)造h（x）=a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$，又f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），利用導(dǎo)數(shù)可得：函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，0＜a＜1．利用$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，解得a，再求概率．

解答 解：∵f（x）=a^x•g（x），g（x）≠0，
∴h（x）=a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$，又f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），
∴h′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，∴函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，∴0＜a＜1．
$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，∴a+a^-1=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$．
關(guān)于x的方程abx²+$\sqrt{2}$x+2=0，即$\frac{1}{2}$bx²+$\sqrt{2}$x+2=0，$△=2-4•\frac{1}{2}b•2≥0$，∴$b≤\frac{1}{2}$，
∴關(guān)于x的方程abx²+$\sqrt{2}$x+2=0（b∈（0，1））有兩個不同實根的概率為$\frac{\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
故選B．

點評 此題考查學(xué)生會利用有理數(shù)指數(shù)冪公式化簡求值，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查概率的計算，是一道中檔題．