Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義域在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意正數(shù)x，y有f（xy）=f（x）+f（y），已知f（2）=1．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項的和，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，是否存在正數(shù)M，使
2ⁿ•a₁•a₂…a_n≥M

2n+1

(2a2-1)-（2a₂-1）…（2a_n-1）對一切n∈N^*成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）令x=y=1，求得f（1）=0，再令x=2，y=

1

2

，即可求f（

1

2

）的值；
（2）根據(jù)f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f[

1

2

a_n（a_n+1）]，函數(shù)f（x）是定義域在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，數(shù)列{a_n}各項為正數(shù)，可得S_n=

1

2

a_n（a_n+1），再寫一式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）假設(shè)M存在滿足條件，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可

解答： 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0
令x=2，y=

1

2

，則f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）
∵f（2）=1
∴f（

1

2

）=-1
（2）∵f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f[

1

2

a_n（a_n+1）]
∵函數(shù)f（x）是定義域在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，數(shù)列{a_n}各項為正數(shù)
∴S_n=

1

2

a_n（a_n+1）①
當(dāng)n=1時，可得a₁=1；
當(dāng)n≥2時，S_n-1=

1

2

a_n-1（a_n-1+1）②
①-②可得a_n=

1

2

a_n（a_n+1）-

1

2

a_n-1（a_n-1+1）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0
即a_n-a_n-1=1
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₁=1，d=1；
∴a_n=1+（n-1）×1=n
（3）∵假設(shè)M存在滿足條件，即M≤

2na1a2…an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)

對一切n∈N^*成立，
設(shè)g（n）=

2na1a2…an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)

，
∴g（n+1）=

2n+1×1×2×…×n×(n+1)

2n+3 ×1×3×…×(2n-1)(2n+1)

，
∴

g(n+1)

g(n)

=

2n+2

2n+1 • 2n+3

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1，
∴∴g（n+1）＞g（n），
∴g（n）單調(diào)遞增，
∴n∈N^*，g（n）≥g（1）=

2 3

3

，0＜M≤

2 3

3

，
∴存在正數(shù)M，使所給定的不等式恒成立，M的取值范圍為（0，

2 3

3

]

點評：本題本題考查了數(shù)列不等式的綜合，考查了等比數(shù)列的判斷，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，屬于難題