Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為a₁=5，前n項和為S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N⁺）．
（1）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）令f（x）=a₁x+a₂x²+…a_nxⁿ，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令b_n=f（1），求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）若b_n＜30成立，試求n的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的概念及簡單表示法,等比關(guān)系的確定

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{a_n}的前n項和的定義公式，求出通項公式a_n+1與a_n的關(guān)系，由定義判斷{a_n+1}是否為等比數(shù)列；
（2）由（1）得出{a_n}的通項公式，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），計算b_n=f（1）的值，求出{b_n}的通項公式；
（3）判斷{b_n}為遞增數(shù)列，驗證b_n＜30時n的最大值是什么．

解答： 解：（1）數(shù)列{a_n}中，∵S_n+1=2S_n+n+5，∴S_n=2S_n-1+n+4，…2分
∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，
即a_n+1+1=2（a_n+1），
當(dāng)n=1時，a₂=2a₁+1=11，
∴a₂+1=12，a₁+1=6，
∴{a_n+1}是公比為2的等比數(shù)列；…4分
（2）由（1）得：a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=6•2^n-1=3•2ⁿ，
∴an=3×2n-1，
又∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，
∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1，
∴f′(1)=a1+2a2+…+nan=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)
=3（2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）；
令S=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，則2S=2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
作差得S=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2，
∴bn=f′(1)=3(n-1)×2n+1-

n(n+1)

2

+6；…8分
（3）∵當(dāng)n∈N^*時，bn+1-bn=(n+1)(3×2n+1-1)＞0，
∴{b_n}為遞增數(shù)列，…10分
又∵b₁=5，b₂=27，b₃=96，
∴n的最大值為2．…12分．

點評：本題考查了等比數(shù)列的定義與求數(shù)列的通項公式以及前n項和的應(yīng)用問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用問題，是綜合性題目．