Question

13．若函數(shù)f（x）=x²-2ax+3為定義在[-2，2]上的函數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的最大值與最小值；
（2）若f（x）的最大值為M，最小值為m，函數(shù)g（a）=M-m，求g（a）的解析式，并求其最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值，
（2）需要分類討論，根據(jù)對稱軸和函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值，即可求出g（a）的解析式，再分別求出最小值，即可得到答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x²-2x+3的對稱軸為x=1，
∴f（x）在[-2，1]上單調(diào)遞減，在（1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（-2）=4+4+3=11，f（x）_min=f（1）=1-2+3=2，
（2）∵f（x）=x²-2ax+3的對稱軸為x=a，
當(dāng)a≤-2時，f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（-2）=4+4a+3=4a+7，f（x）_max=f（2）=-4a+7，
∴g（a）=M-m=-4a+7-4a-7=-8a，
當(dāng)a≥2時，f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（-2）=4a+7，f（x）_min=f（2）=-4a+7，
∴g（a）=M-m=4a+7-4a-7=8a，
當(dāng)-2≤a＜0時，f（x）在[-2，a）上單調(diào)遞減，在（a，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（2）=-4a+7，f（x）_min=f（a）=-a²+3，
∴g（a）=M-m=-4a+a²+3，
當(dāng)0≤a＜2時，f（x）在[-2，a）上單調(diào)遞減，在（a，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（-2）=4a+7，f（x）_min=f（a）=-a²+3，
∴g（a）=M-m=4a+a²+3，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{8a，a≥2}\\{{a}^{2}+4a+3，0≤a＜2}\\{{a}^{2}-4a+3，-2＜a＜0}\\{-8a，a≤-2}\end{array}\right.$
當(dāng)a≥2，g（a）_min=16，
當(dāng)0≤a＜2時，g（a）_min=g（0）=3，
當(dāng)-2＜a＜0時，g（a）_min=g（0）=3，
當(dāng)a≤-2時，g（a）_min=16，
綜上所述g（a）_min=3

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的最值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運(yùn)用和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．