Question

17．已知直線l過點（1，3），且與x軸、y軸都交于正半軸，求：
（1）直線l與坐標軸圍成面積的最小值及此時直線l的方程；
（2）直線l與兩坐標軸截距之和的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設直線的方程為：y-3=k（x-1），（k＜0），可得與坐標軸的交點（0，3-k），（1-$\frac{3}{k}$，0）．∴S=$\frac{1}{2}$$|（3-k）（1-\frac{3}{k}）|$=$\frac{1}{2}|-k+\frac{9}{-k}+6|$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）直線l與兩坐標軸截距之和=3-k+1-$\frac{3}{k}$=4+（-k）+$\frac{3}{-k}$，利用基本不等式的性質(zhì)與截距式即可得出．

解答 解：（1）設直線的方程為：y-3=k（x-1），（k＜0），
可得與坐標軸的交點（0，3-k），（1-$\frac{3}{k}$，0）．
∴S=$\frac{1}{2}$$|（3-k）（1-\frac{3}{k}）|$=$\frac{1}{2}|-k+\frac{9}{-k}+6|$≥$\frac{1}{2}（2\sqrt{（-k）×\frac{9}{-k}}+6）$=6，
當且僅當-k=3，即k=-3時取等號．
∴直線l與坐標軸圍成面積的最小值為6，
及此時直線l的方程為：y-3=-3（x-1），化為3x+y-6=0．
（2）直線l與兩坐標軸截距之和=3-k+1-$\frac{3}{k}$=4+（-k）+$\frac{3}{-k}$≥4+2$\sqrt{（-k）•\frac{3}{-k}}$=4+2$\sqrt{3}$，
當且僅當-k=$\sqrt{3}$，即k=-$\sqrt{3}$時取等號．
∴此時直線l的方程為：$\frac{x}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{y}{3+\sqrt{3}}$=1．

點評 本題考查了直線的截距式、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．