Question

6．A為定點(diǎn)，線段BC在定直線l上滑動(dòng)，已知|BC|=4，A到l的距離為3，求△ABC的外心的軌跡方程．

Answer 1

分析 建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，線段BC的中點(diǎn)，AC的中點(diǎn)，由$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{QM}$，可得結(jié)論．

解答 解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系
設(shè)A（0，3），B（x₀-2，0），C（x₀+2，0），外心M（x，y）
則線段BC的中點(diǎn)P（x₀，0），AC的中點(diǎn)Q（$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，$\frac{3}{2}$）
∴$\overrightarrow{BC}$=（4，0），$\overrightarrow{AC}$=（x₀+2，-3），$\overrightarrow{PM}$=（x-x₀，y），
$\overrightarrow{QM}$=（x-$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，y-$\frac{3}{2}$），
由$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{QM}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{4（x-{x}_{0}）=0}\\{（{x}_{0}+2）（x-\frac{{x}_{0}+2}{2}）+（-3）（y-\frac{3}{2}）=0}\end{array}\right.$
消去x₀可得：x²=6y-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．