Question

1．已知A（-2，0），B（2，0），動點M滿足∠AMB=2θ，|$\overrightarrow{AM}$|•|$\overrightarrow{BM}$|=$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$．
（1）求|$\overrightarrow{AM}$|+|$\overrightarrow{BM}$|的值，并寫出M的軌跡曲線C的方程；
（2）動直線l：y=kx+m與曲線C交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，是否存在圓x²+y²=r²使得l恰好是該圓的切線，若存在，求出r；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用向量知識、余弦定理、橢圓的定義即可得出M的軌跡曲線C的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，△＞0，由x₁x₂+y₁y₂=0，利用根與系數(shù)的關系可得：k²=$\frac{3{m}^{2}-8}{8}$，代入△＞0成立，得${m}^{2}＞\frac{8}{3}$即可，求出圓的半徑即可得出結論．

解答 解：（1）設|$\overrightarrow{AM}$|=m，|$\overrightarrow{BM}$|=n，
∵|AB|=4，|$\overrightarrow{AM}$|•|$\overrightarrow{BM}$|=$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$，
∴mncos²θ=4，
△ABM中，由余弦定理可得m²+n²-16=2mncos2θ=4mncos²θ-2mn，
∴m²+n²+2mn=32，
∴m+n=4$\sqrt{2}$，
∴|$\overrightarrow{AM}$|+|$\overrightarrow{BM}$|=4$\sqrt{2}$＞|$\overrightarrow{AB}$|，
∴M的軌跡是橢圓，且a=2$\sqrt{2}$，c=2，
∴b=2，
∴M的軌跡曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線代入橢圓方程得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴△＞0，得8k²-m²+4＞0，x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$
∵OP⊥OQ，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴k²=$\frac{3{m}^{2}-8}{8}$．
由$\frac{3{m}^{2}-8}{8}$≥0和8k²-m²+4＞0得${m}^{2}＞\frac{8}{3}$即可．
∵l與圓x²+y²=r²相切，
∴r²=$\frac{|m{|}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，
∴存在圓x²+y²=$\frac{8}{3}$，使得l恰好是該圓的切線．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與圓相切的充要條件、點到直線的距離公式，考查了分類討論方法推理能力與計算能力，屬于難題．