Question

3．已知函數(shù)f（x）=asinx-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{3}{a}$+$\frac{1}{2}$（a∈R，a≠0），若對(duì)任意x∈R都有f（x）＜0，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{3}{2}$，0）
• B． [-1，0）∪（0，1]
• C． （0，1]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的有界性、一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：f（x）=sin²x+asinx+a-$\frac{3}{a}$，令t=sinx（-1≤t≤1），
則g（t）=t²+at+a-$\frac{3}{a}$，
對(duì)任意x∈R，f（x）≤0恒成立的充要條件是$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=1-\frac{3}{a}≤0}\\{g（1）=1+2a-\frac{3}{a}≤0}\end{array}\right.$，
解得a的取值范圍是（0，1]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的有界性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．