Question

6．已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求：
（1）x²+y²的最小值；
（2）$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{xy}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用重要不等式求解表達式的最小值即可．
（2）利用已知條件求出xy的最值，然后化簡所求的表達式，利用基本不等式求解最小值即可．

解答 （12分）
解：（1）${x^2}+{y^2}=\frac{{{x^2}+{y^2}+{x^2}+{y^2}}}{2}≥\frac{{{x^2}+{y^2}+2xy}}{2}=\frac{{{{（{x+y}）}^2}}}{2}=\frac{1}{2}$，當且僅當x=y=$\frac{1}{2}$．表達式取得最小值$\frac{1}{2}$．
（2）∵x+y=1，∴$xy≤{（{\frac{x+y}{2}}）^2}=\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{xy}≥4$．∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{xy}$=$\frac{x+y+1}{xy}=\frac{2}{xy}≥8$．當且僅當x=y=$\frac{1}{2}$．表達式的最小值為：6．

點評 本題考查基本不等式在最值中的應用，考查計算能力．