Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x|（2-x），關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，則x₁x₂x₃的取值范圍為（1-$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 關(guān)于x的方程f（x）=m恰有三個(gè)互不相等的實(shí)根x₁，x₂，x₃，即函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=|x|（2-x），如圖所示，

關(guān)于x的方程f（x）=m恰有三個(gè)互不相等的實(shí)根x₁，x₂，x₃，
即函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
則0＜m＜1．
不妨設(shè)從左到右的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，x₃．
當(dāng)x＞0時(shí)，由對稱性得0＜x₂x₃＜$（\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}）^{2}$，
即0＜x₂x₃＜1；
當(dāng)x＜0時(shí)，由x²-2x=1，得x=1-$\sqrt{2}$，
所以1-$\sqrt{2}$＜x₁＜0，
所以1-$\sqrt{2}$＜x₁x₂x₃＜0，
所以x₁x₂x₃的取值范圍為（1-$\sqrt{2}$，0）．
故答案為：（1-$\sqrt{2}$，0）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合思想，分段函數(shù)的應(yīng)用，難度中檔．