12.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}+{log_4}x,x≥1\\{2^{-x}}-\frac{1}{4},x<1\end{array}$.
(Ⅰ)證明:f(x)≥$\frac{1}{4}$;
(Ⅱ)若f(x0)=$\frac{3}{4}$,求x0的值.

分析 (Ⅰ)利用函數(shù)的解析式,通過x的范圍,分別求解函數(shù)的最小值即可證明f(x)≥$\frac{1}{4}$;
(Ⅱ)利用分段函數(shù)通過f(x0)=$\frac{3}{4}$,列出方程求解求x0的值.

解答 證明:(Ⅰ)當x<1時,由于$f(x)={2^{-x}}-\frac{1}{4}$是減函數(shù)
∴$f(x)>f(1)=\frac{1}{4}$…(3分)
當x≥1時,由于$f(x)=\frac{1}{4}+{log_4}x$是增函數(shù),
∴$f(x)≥f(1)=\frac{1}{4}$…(6分)
∴$f(x)≥\frac{1}{4}$…(7分)
解:(Ⅱ)當x0<1時,由于$f({x_0})={2^{-{x_0}}}-\frac{1}{4}$,
∵$f({x_0})=\frac{3}{4}∴{x_0}=0$…(10分)
當x0≥1時,由于$f({x_0})=\frac{1}{4}+{log_4}{x_0}$
∵$f({x_0})=\frac{3}{4}∴{x_0}=2$…(13分)
x0=0或x0=2…(14分)

點評 本題考查分段函數(shù)的應用,分類討論思想的應用,考查分析問題解決問題的能力.

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