Question

如圖, 是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為.

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值；
（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由。

Answer 1

(Ⅰ) 只需證 ， 。(Ⅱ)；（Ⅲ）存在點(diǎn)M，。

試題分析：(Ⅰ)證明： 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824003144243423.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以.    2分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824003144212518.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形，
所以，
又相交
從而平面.    4分

(Ⅱ)解：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824003144992640.png" style="vertical-align:middle;" />兩兩垂直，
所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824003144306385.png" style="vertical-align:middle;" />與平面所成角為，
即，    5分
所以.
由可知，.   6分
則，，，，，
所以，，  7分
設(shè)平面的法向量為，則，
即，令，
則.     8分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824003144384405.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以為平面的法向量，，
所以.  9分
因?yàn)槎�面角為銳角，所以二面角的余弦值為.   10分
(Ⅲ)解：點(diǎn)是線段上一個(gè)點(diǎn)，設(shè).
則，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824003144524510.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以，                                     11分
即，解得.                      12分
此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，故存在點(diǎn)M，，符合題意.   13分
點(diǎn)評：線面垂直的常用方法：
①線線垂直Þ線面垂直
若一條直線垂直平面內(nèi)兩條相交直線，則這條直線垂直這個(gè)平面。
即
②面面垂直Þ線面垂直
兩平面垂直，其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于它們的交線，則這條直線垂直于另一個(gè)平面。
即
③兩平面平行，有一條直線垂直于垂直于其中一個(gè)平面，則這條直線垂直于另一個(gè)平面。
即
④兩直線平行，其中一條直線垂直于這個(gè)平面，則另一條直線也垂直于這個(gè)平面。
   即