Question

已知，當(dāng)x∈[-2，1]時，不等式mx³≥x²-4x-3恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：分x=0、x＞0、x＜0討論，當(dāng)x＞0和x＜0時分離參數(shù)m，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值，分別得到m的范圍，最后取并得答案．

解答： 解：當(dāng)x=0時，不等式mx³≥x²-4x-3化為0≥-3恒成立．
當(dāng)x＞0時，不等式mx³≥x²-4x-3恒成立化為m≥

x2-4x-3

x3

．
令f（x）=

x2-4x-3

x3

，
f′(x)=

-x2+8x+9

x4

=

-(x-4)2+25

x4

．
當(dāng)x∈（0，1]時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，要使m≥

x2-4x-3

x3

成立，
則m≥f(x)max=f(1)=

1-4-3

1

=-6．
當(dāng)x＜0時，
即x∈[-2，0），
不等式mx³≥x²-4x-3恒成立化為m≤

x2-4x-3

x3

．
令g（x）=

x2-4x-3

x3

，
g′（x）=

-(x-4)2+25

x4

．
當(dāng)x=-1時，g′（x）=0，
x∈[-2，-1）時，g′（x）＜0，
x∈（-1，0）時，g′（x）＞0，
即x=-1為g（x）的極小值點，
∴m≤g(x)min=g(-1)=

1+4-3

-1

=-2．
綜上，-6≤m≤-2．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是壓軸題．