Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2） 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， ，且，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，知在上遞減；當(dāng)時(shí)， 在上遞減，在上遞增；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：

（1）由函數(shù)的解析式了的， ，分類討論有：當(dāng)時(shí)，知在上遞減；當(dāng)時(shí)， 在上遞減，在上遞增；

（2）由（1）知， ， ，且 ， 故， ，原問題等價(jià)于，結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為即可，而， ，構(gòu)造函數(shù)，令， ，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可得，即，則結(jié)論得證.

試題解析：

（1）， ，

當(dāng)時(shí)， ，知在上是遞減的；

當(dāng)時(shí)， ，知在上是遞減的，在上遞增的．

（2）由（1）知， ， ，

依題意，即，

由得， ， ， ，

由及得， ，即，

欲證，只要，

注意到在上是遞減的，且，

只要證明即可，

由得，

所以

， ，

令， ，

則，知在上是遞增的，于是，即

，綜上， ．