Question

1．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3，設(shè)a＞-1，且當(dāng)x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f（x）≤g（x），則a的取值范圍是（-1，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 由x的范圍，化簡(jiǎn)f（x）=1+a，由恒成立思想可得a≤x+2的最小值，運(yùn)用一次函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：當(dāng)x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f（x）=|2x-1|+|2x+a|=1-2x+2x+a=1+a，
由a＞-1，當(dāng)x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f（x）≤g（x），
即為1+a≤x+3，即a≤x+2，
由x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$]，可得x+2∈[2-$\frac{a}{2}$，$\frac{5}{2}$]，
即有a≤2-$\frac{a}{2}$，解得-1＜a≤$\frac{4}{3}$．
則a的取值范圍是（-1，$\frac{4}{3}$]．
故答案為：（-1，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查含絕對(duì)值函數(shù)的化簡(jiǎn)和運(yùn)用，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，及參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．