Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²-lnx（a∈R）
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上點（1，f（1））處的切線方程y=x+b（b∈R），求實數(shù)a，b的值；
（2）若y=f（x）在x=2處取得極值，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線方程，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系求出a，b的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）=ax²-lnx，
f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，f（1）=a，f′（1）=2a-1，
故切線方程是：y-a=（2a-1）（x-1），
即y=（2a-1）x-a+1=x+b，
故2a-1=1，b=-a+1，
解得：a=1，b=0；
（2）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，f′（2）=4a-$\frac{1}{2}$=0，解得：a=$\frac{1}{8}$，
∴f（x）=$\frac{1}{8}$x²-lnx，
f′（x）=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+2）（x-2）}{4x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
故f（x）在[$\frac{1}{e}$，2]遞減，在[2，e]遞增，
故f（x）的最大值是f（$\frac{1}{e}$）或f（e），
而f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{8e}^{2}}$-1＜f（e）=$\frac{{e}^{2}}{8}$-1，
故函數(shù)的最大值是f（e）=$\frac{{e}^{2}}{8}$-1．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．