（本題滿分12分）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.
（Ⅰ）計(jì)算的值，猜想的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.

已知函數(shù),為正整數(shù).
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)數(shù)列的通項(xiàng)公式為(),求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足:,,設(shè),若(Ⅱ)中的滿足：對任意不小于3的正整數(shù)n,恒成立,試求m的最大值.

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為
(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若，求數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和T_n

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且方程有一個根為，．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)方程的另一個根為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值；
（3）是否存在不同的正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，若存在，求出滿足條件的，若不存在，請說明理由．

已知二次函數(shù)，且不等式對任意的實(shí)數(shù)恒成立，數(shù)列滿足，.
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）求證.

已知數(shù)列中，，前項(xiàng)的和為，對任意的，，，總成等差數(shù)列.
（1）求的值并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式
（2）證明：.

對任意都有
（Ⅰ）求和的值．
（Ⅱ）數(shù)列滿足：=+，數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請給予證明；
（Ⅲ）令試比較與的大�。�

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，常數(shù)，且對一切正整數(shù)都成立。
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，，求證： <4

已知數(shù)列{}滿足=1，=，（1）計(jì)算，，的值；（2）歸納推測，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的推測．

下圖是一個按照某種規(guī)律排列出來的三角形數(shù)陣

假設(shè)第行的第二個數(shù)為
（1）依次寫出第七行的所有7個數(shù)字(不必說明理由);
（2）寫出與的遞推關(guān)系(不必證明),并求出的通項(xiàng)公式.