數(shù)列{}中，a₁=3，，
(1)求a₁、a₂、a₃、a₄；
(2)用合情推理猜測(cè)關(guān)于n的表達(dá)式(不用證明)；
(3)用合情推理猜測(cè){}是什么類型的數(shù)列并證明；
(4)求{}的前n項(xiàng)的和。

已知數(shù)列的首項(xiàng)為，對(duì)任意的，定義.
（Ⅰ） 若，
(i)求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(ii)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅱ）若，且，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.

在數(shù)列{a_n}（n∈N*）中，已知a₁＝1，a_2k＝－a_k，a_2k－1＝(－1)^k+1a_k，k∈N*. 記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n.
（1）求S₅，S₇的值；
（2）求證：對(duì)任意n∈N*，S_n≥0.

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上.數(shù)列滿足，且，前9項(xiàng)和為153.
（1）求數(shù)列、{的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前和為，求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)的值；
（3）設(shè)，問(wèn)是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列都是等差數(shù)列，且公差相等，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若的前三項(xiàng)，記數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和為

在數(shù)列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表達(dá)式，并加以證明；
(Ⅱ)設(shè)，求證：對(duì)任意的自然數(shù)都有.

數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，等差數(shù)列滿足．
（1）分別求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；      
（2）設(shè)，求證．

設(shè)各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（）．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），若，，（）成等差數(shù)列，求和的值；
（Ⅲ）證明：存在無(wú)窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其三邊長(zhǎng)為數(shù)列中的三項(xiàng)，，．

已知數(shù)列 的前項(xiàng)和為，設(shè)，且.
(1)證明{}是等比數(shù)列；
(2)求與.

數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
（1）寫出與的遞推關(guān)系式，并求,,的值；
（2）猜想關(guān)于的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．