已知在數(shù)列中，（）.
（I）若q =2，d = -1，，求a₃，a₄，并猜測(cè)a₂₀₀₆；
（II）若是等比數(shù)列，且是等差數(shù)列，求q, d滿足的條件．

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=na_n+a_n—c(c是常數(shù)，n∈N^*)，a₂=6．
(Ⅰ)求c的值及{a_n}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)證明：

如圖，一條螺旋線是用以下方法畫(huà)成：ΔABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，曲線CA₁，A₁A₂，A₂A₃分別以A、B、C為圓心，AC、BA₁、CA₂為半徑畫(huà)的弧，曲線CA₁A₂A₃稱為螺旋線旋轉(zhuǎn)一圈．然后又以A為圓心AA₃為半徑畫(huà)弧，這樣畫(huà)到第n圈，則所得螺旋線的長(zhǎng)度_____________．(用π表示即可)

已知等差數(shù)列的公差，對(duì)任意，都有．
（I）求證：對(duì)任意，所有方程均有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；
（II）若，方程的另一不同根為，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，且，的公比
（1）求與；
（2）求

已知數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的
，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于。
（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）證明：，且；
（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列。

已知數(shù)列滿足：且
．
（Ⅰ）求，，，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

設(shè)，令，，又，．
（Ⅰ）判斷數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列并證明；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

已知?jiǎng)訄AQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且與直線相切，動(dòng)圓圓心Q的軌跡為曲線C，過(guò)定點(diǎn)作與y軸平行的直線且和曲線C相交于點(diǎn)M₁,然后過(guò)點(diǎn)M₁作C的切線和x軸交于點(diǎn),再過(guò)作與y軸平行的直線且和C相交于點(diǎn)M₂,又過(guò)點(diǎn)M₂作C的切線和x軸交于點(diǎn),如此繼續(xù)下去直至無(wú)窮，記△的面積為
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）試求的值。

在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組（）
所表示的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133102998214.gif" style="vertical-align:middle;" />，記內(nèi)的整點(diǎn)（即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為.
（Ⅰ）求并猜想的表達(dá)式再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和,是否存在自然數(shù)m？使得對(duì)一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。