科目： 來源：不詳 題型：解答題

已知在數(shù)列中，（）.
（I）若q =2，d = -1，，求a₃，a₄，并猜測a₂₀₀₆；
（II）若是等比數(shù)列，且是等差數(shù)列，求q, d滿足的條件．

科目： 來源：不詳 題型：解答題

設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=na_n+a_n—c(c是常數(shù)，n∈N^*)，a₂=6．
(Ⅰ)求c的值及{a_n}的通項公式；
(Ⅱ)證明：

科目： 來源：不詳 題型：填空題

如圖，一條螺旋線是用以下方法畫成：ΔABC是邊長為1的正三角形，曲線CA₁，A₁A₂，A₂A₃分別以A、B、C為圓心，AC、BA₁、CA₂為半徑畫的弧，曲線CA₁A₂A₃稱為螺旋線旋轉一圈．然后又以A為圓心AA₃為半徑畫弧，這樣畫到第n圈，則所得螺旋線的長度_____________．(用π表示即可)

科目： 來源：不詳 題型：解答題

已知等差數(shù)列的公差，對任意，都有．
（I）求證：對任意，所有方程均有一個相同的實數(shù)根；
（II）若，方程的另一不同根為，，求數(shù)列的前n項和．

科目： 來源：不詳 題型：解答題

等差數(shù)列中，，前項和為，等比數(shù)列各項均為正數(shù)，，且，的公比
（1）求與；
（2）求

科目： 來源：不詳 題型：解答題

已知數(shù)集具有性質；對任意的
，與兩數(shù)中至少有一個屬于。
（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質，并說明理由；
（Ⅱ）證明：，且；
（Ⅲ）證明：當時，成等比數(shù)列。

科目： 來源：不詳 題型：解答題

已知數(shù)列滿足：且
．
（Ⅰ）求，，，的值及數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和；

科目： 來源：不詳 題型：解答題

設，令，，又，．
（Ⅰ）判斷數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列并證明；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅲ）求數(shù)列的前項和．

科目： 來源：不詳 題型：解答題

已知動圓Q經(jīng)過點A,且與直線相切，動圓圓心Q的軌跡為曲線C，過定點作與y軸平行的直線且和曲線C相交于點M₁,然后過點M₁作C的切線和x軸交于點,再過作與y軸平行的直線且和C相交于點M₂,又過點M₂作C的切線和x軸交于點,如此繼續(xù)下去直至無窮，記△的面積為
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）試求的值。

科目： 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系上，設不等式組（）
所表示的平面區(qū)域為，記內的整點（即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點）的個數(shù)為.
（Ⅰ）求并猜想的表達式再用數(shù)學歸納法加以證明；
（Ⅱ）設數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和,是否存在自然數(shù)m？使得對一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由。