已知sinθ+cosθ=

1

5

，θ∈（0，π），求下列各式的值．
（1）sinθ-cosθ； 
（2）tanθ；
（3）

cosθ-sinθ

cosθ+sinθ

+

cosθ+sinθ

cosθ-sinθ

．

記函數(shù)f（x）=lg（x²-x-2）的定義域?yàn)榧�合A，函數(shù)g（x）=

3-|x|

的定義域?yàn)榧�合B．則求 
（Ⅰ）A∩B；
（Ⅱ）（∁_RA）∪B．

生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．
（1）根據(jù)這個(gè)規(guī)律，寫出生物體內(nèi)碳14的含量p與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的76.7%，試推算馬王堆漢墓的年代．（精確到個(gè)位；輔助數(shù)據(jù)：log₂0.767≈-0.3827）

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-2(a+2)lnx+ax，a∈R
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）（x∈R）構(gòu)成的集合：①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=

x

2

+

cos

8

-

1

8

是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是集合M中的一個(gè)元素，x₀是方程f（x）-x=0的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于定義域中的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，當(dāng)|x₀-x₁|＜1且|x₂-x₀|＜1時(shí)，不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜2成立．

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+b的圖象上一點(diǎn)P（1，0），且在點(diǎn)P處的切線與直線3x+y=0平行．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值．

已知函數(shù)f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c，且f（x）在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍；
（Ⅲ）對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤

7

2

是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，請(qǐng)說明理由．

設(shè)A、B是函數(shù)y=log₂x圖象上兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為a和a+4，直線l：x=a+2與函數(shù)y=log₂x圖象交于點(diǎn)C，與直線AB交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值．
（3）當(dāng)1≤a≤2時(shí)，求△ABC的面積的取值范圍．

已知f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2時(shí)有極大值6，在x=1時(shí)有極小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在[-3，2]區(qū)間上的最大值和最小值．

設(shè)函數(shù)f（x）=[x²+（a-3）x-2a+3]•e^x
（1）求f（x）的遞增區(qū)間；
（2）a≥1時(shí)，求f（x）的最小值．